Halaman
69PeluangPeluangIIBabTujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. menggunakan aturanperkalian;2. menggunakan aturanpermutasi;3. menggunakan aturankombinasi;4. menentukan banyakkemungkinan kejadiandari berbagai situasi;5. menentukan ruang sam-pel suatu percobaanacak;6. menentukan peluangkejadian dari berbagaisituasi;7. memberikan tafsiranpeluang kejadian dariberbagai situasi;8. menentukan peluangkomplemen suatu keja-dian;9. menggunakan aturanpenjumlahan dalampeluang kejadian maje-muk;10.menggunakan aturanperkalian dalam pe-luang kejadian majemuk.MotivasiMisalnya kalian pergi ke suatu tempat dan melalui jalan rayayang bercabang. Untuk mencapai tujuan, tentu kalian memilihsalah satu percabangan jalan itu. Setelah berjalan beberapakilometer, mungkin kalian akan menemukan percabangan lagi.Kalian harus memilih salah satu cabang lagi. Banyak pilihan jalanbercabang seperti ini. Untuk setiap percabangan tertentu menujuke salah satu titik (lokasi) merupakan bagian penting dalam ilmupeluang.Sumber:Dokumen Penerbit
70Khaz Matematika SMA 2 IPS• aturan perkalian• binom• faktorial• frekuensi harapan• kejadian• kejadian majemuk• kejadian saling bebasstokastik• kejadian saling lepas• kemustahilan• kepastian• kombinasi• komplemen• peluang• peluang kejadian bersyarat• percobaan• permutasi• permutasi siklis• populasi• sampelKaidahPencacahanmempelajariterdiri atasPeluangAturanPerkalianTeoremaBinomPermutasidenganPerulanganPermutasiSiklisPermutasidenganPembatasanUnsurKejadianMajemukKomplemenKejadianTunggalBersyaratSaling BebasStokastikSalingLepasPermutasiKombinasiKata KunciPeta KonsepmembahasHitungPeluang
71PeluangDi SMP kalian telah diperkenalkan dengan ruang sampel,titik sampel, populasi, peluang suatu kejadian, dan frekuensiharapan. Materi-materi ini akan kita bahas dan perluas lagi padabab ini, dengan penambahan beberapa materi.Sebelum kalian mempelajari materi ini lebih jauh, adabaiknya kalian kerjakan soal-soal berikut.A. Aturan Perkalian, Permutasi, dan KombinasiJika kalian telah menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas,mari kita lanjutkan mempelajari materi ini.PrasyaratKerjakan di bukutugas1.Apakah yang kamu ketahui tentanga.ruang sampel dan titik sampel;b.peluang suatu kejadian;c.frekuensi harapan?2.Misalnya dalam sebuah kantong plastik terdapat 4kelereng merah, 5 kelereng putih, dan sebuah kelerengbiru. Dari soal tersebut, tentukana.ruang sampelnya;b.peluang terambil kelereng merah jika dari kantongplastik itu akan diambil sebuah kelereng saja.Tentu kalian pernah dihadapkan pada permasalahan yangberkaitan dengan penentuan suatu keputusan. Misalnya,bagaimana cara menentukan berapa banyak pilihan yang dapatdiambil jika pilihan pertama ada 2 cara dilanjutkan dengan pilihankedua ada 3 cara? Bagaimana pula jika pilihan pertama ada mcara dan pilihan kedua ada n cara?Untuk menentukan permasalahan-permasalahan demikian,kita dapat menggunakan1.aturan perkalian;2.permutasi;3.kombinasi.Agar kalian dapat memahami ketiga cara tersebut, pelajariuraian berikut.1. Aturan PerkalianMisalnya, kalian akan membeli bolpoin atau pensil padasebuah toko. Di toko itu, tersedia tiga warna bolpoin, yaitu merah,biru, dan hitam. Di toko itu juga tersedia tiga warna pensil, yaitumerah, biru, dan hitam.
72Khaz Matematika SMA 2 IPSUntuk menentukan pilihan, dapat digunakan diagram pohon,tabel persilangan, dan pasangan berurutan. Bagaimana cara kalianmenentukan pilihan untuk membeli barang itu? Sebelum mem-pelajari aturan perkalian lebih lanjut, lakukan Aktivitas berikut.AktivitasTujuan:Menentukan banyaknya cara yang ber-beda dalam pemilihan.Permasalahan:Bagaimana menentukan banyaknya carayang berbeda dalam memilih pasanganbuku dan bolpoin?Kegiatan:1. Sediakan 3 buah buku tulis yangberbeda (bisa dipinjam dari temanmu)dan 2 buah bolpoin yang berbeda pula.2. Berilah label ketiga buku itu dengannama yang berbeda, misalnya B1, B2,B3.3. Beri label juga kedua bolpoin tersebutdengan nama yang berbeda pula,misalnya P1 dan P2.4. Selanjutnya pilihlah salah satu dari 3buah buku tersebut dan salah satu dari2 bolpoin. Catatlah nama label daripasangan buku dan bolpoin yangterpilih tersebut. Misalkan buku yangterpilih adalah B1 dan bolpoin yangterambil adalah P2 maka tulislah B1–P2.5. Ulangi kegiatan 4 sampai tidak adalagi cara yang berbeda untuk memilihpasangan buku dan bolpoin.6. Hitunglah banyaknya cara yang ber-beda dalam memilih pasangan bukudan bolpoin dari hasil kegiatan 4 dan 5.Kesimpulan:Dari hasil yang diperoleh, apa kesim-pulanmu? Coba kaitkan hasil yang diper-oleh dengan banyaknya buku dan bolpoinyang tersedia. Apa hubungannya antarahasil yang diperoleh dengan banyaknyabuku dan bolpoin? Coba simpulkan.Setelah kalian malakukan Aktivitas di atas, kalian akan mudahmemahami aturan perkalian.
73Peluanga.Diagram PohonMisalnya kalian akan membali salah satu dari bolpoin ataupensil. Masing-masing bolpoin dan pensil memiliki 3 warna,merah, biru, dan hitam. Dari contoh kasus yang kalian hadapiini, dapat dinyatakan dalam diagram berikut.
Gambar 2.1Dari diagram pohon di atas, diperoleh 6 pasangan pilihan yangdapat kalian ambil, yaitu:(Bolpoin, Merah)(Pensil, Merah)(Bolpoin, Biru)(Pensil, Biru)(Bolpoin, Hitan)(Pensil, Hitam)Pilihan (Bolpoin, Merah) artinya kalian memilih membeli bolpoinberwarna merah. Pilihan (Bolpoin, Biru) artinya kalian memilihmembeli bolpoin berwarna biru. Demikian seterusnya.b.Tabel PersilanganDengan cara membuat daftar (tabel) persilangan, contohkasus yang kalian hadapi di atas dapat ditampilkan sebagaiberikut.WarnaBarangMerahBiruHitamBolpoin(Bolpoin, Merah)(Bolpoin, Biru)(Bolpoin, Hitam)Pensil(Pensil, Merah)(Pensil, Biru)(Pensil, Hitam)
Gambar 2.2Dari tabel di atas, diperoleh 6 pilihan yang dapat kalian ambil.c.Pasangan BerurutanMisalkan A himpunan pilihan barang dan B himpunan pilihanwarna. Pasangan berurutan A dan B dapat dinyatakan sebagaidiagram panah seperti pada Gambar 2.2.Pada diagram panah di samping dapat disusun pasangan ber-urutan antara pilihan barang dan pilihan warna sebagai berikut.(Bolpoin, Merah)(Pensil, Merah)(Bolpoin, Biru)(Pensil, Biru)(Bolpoin, Hitam)(Pensil, Hitam)Jadi, diperoleh 6 pasang pilihan yang dapat kalian lakukan.
74Khaz Matematika SMA 2 IPSKetiga aturan di atas pada dasarnya adalah sebagai berikut.Jika terdapat 2 pilihan, dengan pilihan pertama ada 2 cara danpilihan kedua ada 3 cara maka banyak cara pemilihan yangmungkin adalah 2 × 3 cara.Jika aturan demikian diperluas, diperoleh sebagai berikut.Anggap pilihan pertama yang ada dianggap sebagai suatu tempat.Misalkan terdapat n tempat dengan ketentuan:1) banyak cara untuk mengisi tempat pertama c1;2) banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempatpertama dipenuhi c2;3) banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempatpertama dan kedua dipenuhi c3;dan seterusnya hingga banyak cara untuk mengisi tempat ke-nsetelah tempat pertama, kedua, ketiga, ..., ke-(n –1) dipenuhiadalah cn.Banyak cara untuk mengisi n buah tempat secara kese-luruhan dapat dirumuskan dengan:c1×c2×c3× ... ×cnAturan seperti inilah yang biasa disebut sebagai aturan perkalian.Aturan ini juga disebut sebagai aturan pengisian tempat yangtersedia (filling slot).Agar kalian mahir dalam menggunakan aturan ini, perhatikancontoh-contoh berikut.Contoh 1:Misalkan seseorang hendak bepergian dari Kota Jambi ke KotaBandar Lampung melalui Kota Palembang. Banyak jalur yangdapat dilalui dari Kota Jambi ke Kota Palembang 3 cara danbanyak jalur yang dapat dilalui dari Kota Palembang ke KotaBandar Lampung 4 cara, tentukan banyak pilihan jalur yangdapat dilalui orang itu.Jawab:Banyak jalur dari Kota Jambi ke Kota Palembang 3 cara.Banyak jalur dari Kota Palembang ke Kota Bandar Lampung4 cara.Jadi, banyak pilihan orang itu adalah 3 × 4 cara.Contoh 2:Perhatikan jalur yang menghu-bungkan kota satu dengan kotalainnya pada jaringan jalan di sam-ping.Gambar 2.3
75PeluangTentukan banyak cara seseorang yang hendak bepergian dariKota A ke Kota D.Jawab:a.Perhatikan jalur A – B – D.Jalur A ke B ada 3 cara dan jalur B ke D ada 4 cara.Jadi, banyak cara menurut jalur A – B – D adalah 3 × 4 =12 cara.b.Perhatikan jalur A – C – D.Jalur A ke C ada 2 cara dan jalur C ke D ada 3 cara.Jadi, banyak cara menurut jalur A – C – D adalah 2 × 3 =6 cara. Jadi, banyak cara seseorang yang hendak bepergiandari kota A ke kota D adalah (12 + 6) cara = 18 cara.ProblemSolvingDisediakan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Tentukana.banyak angka ratusan yang dapat dibentuk;b.banyak angka ratusan ganjil yang dapat dibentuk;c.banyak angka ratusan yang lebih besar dari 300 yang dapatdibentuk.Jawab:a.Angka ratusan terdiri dari 3 angkaRatusanPuluhanSatuan6 cara6 cara6 caraJadi, banyak ratusan yang dapat dibentuk adalah6 × 6 × 6 = 216 angka.b.Angka ratusan ganjil yang mungkin terbentuk dari angka-angka itu satuannya adalah 1, 3, dan 5.RatusanPuluhanSatuan6 cara6 cara3 caraJadi, banyak angka ratusan ganjil yang mungkin terbentukadalah 6 × 6 × 3 = 108 cara (macam).c.Angka yang lebih besar dari 300 mempunyai angkaratusan 3, 4, 5, dan 6.RatusanPuluhanSatuan4 cara6 cara6 caraJadi, banyak angka ratusan yang lebih besar dari 300 yangmungkin adalah 4 × 6 × 6 = 144 cara (macam).TantanganInovatif• Kerjakan di buku tugasMisalnya disediakan 10 bi-langan cacah pertama. Daribilangan-bilangan itu, akandisusun bilangan baru yangterdiri atas bilangan ratusan.Berapa banyak bilanganbaru yang mungkin disusunjikaa. bilangan tiga angka itutidak terjadi pengulang-an angka yang sama(misalnya: 123, 456,379, dan seterusnya);b. bilangan tiga angka ituboleh terjadi pengulang-an angka yang sama(misalnya: 355, 355,411, dan seterusnya).
76Khaz Matematika SMA 2 IPS(a)(b)Soal Kompetensi 1• Kerjakan di buku tugas1.Perhatikan gambar berikut.a.Banyak jalur yang dapat ditempuh dari Kota A keKota D melalui Kota B dan C digambarkan padaGambar 2.4 (a). Tentukan banyak jalur yang dapatditempuh dari Kota A ke D?b.Dengan cara yang sama, berapa jalur yang dapatdtempuh pada Gambar 2.4 (b) untuk menuju kota Edari Kota A melalui Kota B, C, atau D.2.Diberikan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.Tentukan banyak cara menyusun bilangan puluhan jikaa.bilangan tidak boleh terdiri atas angka yang sama;b.bilangan boleh terdiri atas angka yang sama;c.bilangan puluhan tidak boleh terdiri atas angka yangsama dan harus bilangan ganjil.3.Tentukan banyak bilangan ribuan yang dapat dibuat dariangka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 7 jika bilangan-bilanganitu harus genap, nilainya lebih besar dari 3.100 dan tidakada angka yang diulang.4.Suatu keluarga terdiri atas suami-istri, 2 anak laki-laki,dan 3 anak perempuan. Tentukan banyak cara merekaduduk dalam satu baris, tetapi suami-istri harus selaluberdekatan dan anak-anak yang berjenis kelamin samaharus berdekatan.5.Tentukan banyak cara menyusun 4 huruf abjad (A, B, C,..., Z) dan diikuti 3 buah angka (0, 1, 2, .........., 9) yangberbeda.6.Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk darihuruf-huruf J, E, N, D, E, L, A jikaa.huruf pertama susunan adalah huruf vokal;b.huruf pertama susunan adalah huruf konsonan?7.Sebuah restoran cepat saji menyajikan menu makananyang berbeda sebanyak 5 macam, menu minumansebanyak 10 macam, dan menu lauk pauk sebanyak 15macam. Tentukan berapa macam hidangan yang berbedadapat tersaji yang terdiri atas makanan, minuman, danlauk pauk.TantanganInovasi• Kerjakan di buku tugas1. Tentukan banyak carauntuk menyusun nomorplat kendaraan denganformat AD – – – – D,dengan ketentuan bahwa4 digit yang masihkosong tersebut dapatdiisi angka 0–9.2. Suatu tim bola voli ter-diri atas 8 orang (ter-masuk pemain ca-dangan), akan dipilihseorang kapten, wakilkapten, dan pengumpan.Berapa banyak pilihandapat dibentuk jikaa. seseorang boleh me-rangkap;b. seseorang tidak bolehmerangkap?Gambar 2.4
77Peluang8.Diberikan angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 untuk disusunmenjadi suatu bilangan ribuan antara 1.000 sampaidengan 5.000 (1.000 dan 5.000 tidak termasuk).a.Berapa jumlah bilangan yang dapat dibentuk?b.Berapa jumlah bilangan genap yang dapat dibentuk?c.Berapa jumlah bilangan ganjil yang dapat dibentuk?d.Berapa jumlah bilangan kelipatan 5 yang dapatdibentuk?2. PermutasiSebelum mempelajari permutasi, kita perlu memahamioperasi faktorial terlebih dahulu.a.FaktorialPerhatikan perkalian bilangan berikut.3 × 2 × 1 = 3!4 × 3 × 2 × 1 = 4!5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5!dan seterusnya.Tanda ”!” disebut notasi faktorial.Dengan demikian, faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut.Jika n bilangan asli, maka n faktorial (ditulis n!) didefinisikandengann! = n× (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) × ... × 3 × 2 × 1TantanganKreativitas• Kerjakan di buku tugasMisalkan p=10 912(!),q=91012(!), dan r=(!)1112dengann! = 1 . 2 . 3 ... (n – 1)n.Pengurutan yang benar dariketiga bilangan ini adalah ....a.p < q < rb.q < r < pc.r < p < qd.q < p < re. p < r < qOlimpiade Kabupaten,2002Dari definisi di atas, kita juga memperolehn! = n(n – 1)!Nilai 1! = 1. Oleh karena itu, untuk n = 1, diperoleh1! = 1(1 – 1)! 1 = 0!Dari kesamaan terakhir, ternyata untuk setiap kejadian, 0! = 1selalu benar. Untuk itu, disepakati bahwa0! = 1Contoh 1:Hitunglah nilai-nilai operasi faktorial berikut.a.4! + 3!b.4! × 3!c.!3!4Jawab:a.4! + 3! = (4 × 3 × 2 × 1) + (3 × 2 × 1)= 24 + 6 = 30
78Khaz Matematika SMA 2 IPSb.4! × 3! = (4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)= 24 × 6 = 144c.4 1 2 31 2 3 4!3!4=×××××=Contoh 2:Nyatakan 6 × 5 dalam bentuk faktorial.Jawab:6 × 5= 6 5 4 3 2 14 3 2 1××××××××= 64!!Jadi, 6 × 5 = !4!6.ProblemSolvingTentukan nilai n jika diketahui persamaan61 34524()!( )!!()!!nnnn<<<=.Jawab:61 34524()!( )!!()!!nnnn<<<=61 3 41454()!()()!()!( )!!!nnnnnn<<<<<=63544() !!nn<=×618nn< = 56n – 18 = 5nn = 18MariBerdiskusiInkuiriCoba kalian selidiki. Jika m dan n bilangan asli, apakahpernyataan-pernyataan berikut berlaku?a.m! + n! = (m + n)!c.m! ×n! = (m×n)!b.m! – n! = (m – n)!d.! !! ́¦¥²¤£=nmnm
79Peluangb.Permutasi dari Unsur-Unsur yang BerbedaPerhatikan susunan angka-angka yang terdiri atas angka 4, 5,dan 6 berikut.456465546564645654Letak angka dalam susunan tersebut memengaruhi nilaibilangan yang terbentuk. Bilangan-bilangan 456 & 465.Demikian juga untuk susunan yang lain. Banyak susunan angkaratusan yang dapat dibuat dari 3 buah angka, yaitu 4, 5, dan 6sebanyak 6 buah. Bagaimana susunannya jika angka-angka yangtersedia 4, 5, 6, dan 7? Susunan angka ratusan yang mungkindari 4 angka, yaitu 4, 5, 6, dan 7 adalah sebagai berikut:456465546564645654457475547574745754467476647674746764567576657675756765Ternyata, ada 24 cara.Susunan objek-objek yang memerhatikan urutan seperti inidinamakan permutasi.Dari permasalahan di atas, diperoleh1) jika angka-angka disusun terdiri atas 3 angka dari 3 angkayang tersedia, banyak susunannya6 = 3 2 11(3 3)!××==<303!!!;2) jika angka-angka disusun terdiri atas 3 angka dari 4 angkayang tersedia, banyak susunannya24 = 4 3 2 11(4 3)!×××==<414!!!;3) jika kalian teruskan, angka-angka disusun terdiri atas k angkadari n angka yang tersedia, banyak susunannya adalah)! (!knn<.Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.Permutasi k unsur atau objek dari n unsur yang tersedia,dengan memerhatikan urutan susunannya dapat ditentukandengan rumus)! (!knnPnk<=Dalam beberapa buku notasi nkP dituliskan sebagai nPk, nPk, atauP(n, k).TantanganKreativitas• Kerjakan di buku tugasNilai dari 80387740!!!!×× = ....a. 316b. 391c. 412d. 871e. 2.023Olimpiade Sains Provinsi,2006
80Khaz Matematika SMA 2 IPSContoh 1:Tentukan nilai-nilai berikut.a.52Pc.nnP2b.88PJawab:a.P25(=<=××=×=552!)!5 4 3!3!5 420b.18!0!!8)!8 (8!888==<=P= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 40.320c.nnP2= )!2( )! (2 1)) ( (2 ... )22)(12(2nnnnnnnnn<<<<<<=2n(2n – 1)(2n – 2) ... (n + 1)Contoh 2:Di dalam sebuah kelas, akan dibentuk kepengurusan yangterdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara kelas. Berapabanyak cara 6 calon yang akan memperebutkan ketiga posisitersebut?Jawab:Karena posisi yang diperebutkan masing-masing berbeda,kasus ini dapat dikerjakan dengan permutasi 3 unsur dari 6unsur yang tersedia.Jadi, cara. 120 3!3! 4 5 6)!36(!663=×××=<=PProblemSolvingDiketahui persamaan 3451PPmm=<. Tentukan nilai m.Jawab:3451PPmm=<34115mmmm!()!()!(())!<=<<<3145616mmmmmmm()!()()()!()!()!<<<<=<<345mmm()()<< = 1(m – 4)(m – 5) = 3mTantanganBerpikir kritis• Kerjakan di buku tugasEmpat pasang suami-istrimembeli karcis untuk 8kursi sebaris pada suatupertunjukan. Dua orangakan duduk bersebelahanhanya kalau keduanya pa-sangan suami-istri atau ber-jenis kelamin sama. Berapabanyakkah cara menem-patkan keempat pasangsuami-istri kedelapan kursitersebut?Olimpiade Provinsi, 2002
81Peluangm2 – 9m + 20= 3mm2 – 12m + 20= 0(m – 10)(m – 2) = 0 m – 10= 0 atau m – 2 = 0m= 10 atau m = 2Permutasi n unsur, dengan k unsur sama dari n unsur itu(n*k) adalah !!knP=.Aturan ini dapat diperluas sebagai berikut.Untuk permutasi n unsur, dengan k1 unsur sama, k2 unsursama, ...., dan kn unsur sama dari n unsur (k1 + k2 + ... + kn)n), yaitu! ... ! !!21nkkknP=c.Permutasi Memuat Beberapa Unsur yang SamaPada pembahasan sebelumya, permutasi memuat unsur yangsama. Sekarang perhatikan unsur penyusun ”APA” yaitu A, P, dan A.Huruf A pada urutan pertama dan ketiga meskipun dibalikakan mempunyai makna yang sama. Misalkan A1 dan A3 masing-masing adalah huruf A yang pertama dan ketiga.1) Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A1, P, A3(A1 dan A3 diandaikan berbeda) adalah33P= 3! = 3 × 2 × 1 = 6.Dengan demikian, diperoleh susunan dalam 3 kelompokberikut.a)A1PA3b)A1A3Pc)PA1A3A3PA1A3A1PPA3A12) Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A1PA3(A1 dan A3 diandaikan sama) susunannya adalahAPAAAPPAAJadi, hanya terdapat 3 cara. Hal ini terjadi karena pada setiapkelompok terdapat 2! = 2 permutasi pada penyusunan 2 huruf Ayang sama, yaitu A1 dan A3.Dengan demikian, permutasi 3 unsur, dengan 2 unsur yang samadari 3 unsur adalah P = 3 2!!2 3!2!3=×=Secara umum, dapat disimpulkan sebagai berikut.Kuis• Kerjakan di buku tugasBilangan terdiri atas tigaangka disusun dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9.Banyaknya bilangan denganangka-angka berlainan yangnilainnya lebih kecil dari400 adalah ....a. 20d. 80b. 35e. 120c. 40UMPTN 2000
82Khaz Matematika SMA 2 IPSContoh:Tentukan banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari unsurhuruf-huruf pembentuk kataa.PA N D A;b.PENDIDIKAN.Jawab:a.PA N D AUnsur yang tersedia, n = 5.Unsur yang sama k = 2, yaitu huruf A ada 2.Jadi, P = 2!!2 3 4 5!2!5×××= = 5 × 4 × 3 = 60.b.PENDIDIKANUnsur yang tersedia ada 10.Unsur yang sama adalah1)k1 = 2, yaitu huruf N ada 2;2)k2 = 2, yaitu huruf D ada 2;3)k3 = 2, yaitu huruf I ada 2.Jadi, P = 1 2 1 2 1 21 2 3 4 5 6 7 8 9 10!2 !2 !2!10××××××××××××××== 453.600 susunan.Kuis• Kerjakan di buku tugasDalam suatu pertemuanterjadi 28 jabat tangan. Setiapdua orang saling berjabattangan paling banyak sekali.Banyaknya orang yang hadirdalam pertemuan tersebutpaling sedikit adalah ....a. 28d. 8b. 27e. 7c. 14Olimpiade Nasional, 2006ProblemSolvingMisalnya terdapat 6 bendera dengan rincian 2 benderaberwarna merah,3 bendera berwarna putih, dan 1 bendera berwarna biru.Berapa banyak susunan yang dapat dibuat untuk menyusunbendera itu secara berjajar?Jawab:Banyak susunan yang dapat dibuat adalahP = !3 !2!3 4 5 6!3 !2!6×××= = 60 susunan.(a)(b)(c)(d)Gambar 2.5d.Permutasi SiklisPerhatikan susunan titik A, B, dan C pada susunan melingkarberikut.
83PeluangPerhatikan susunan melingkar pada Gambar 2.5 (a), (b), dan(c). Susunan itu sebenarnya sama (tidak berubah). Sekarangbandingkan dengan susunan pada Gambar 2.5 (d). Jadi, banyaksusunan dari 3 titik, yaitu A, B, dan C pada susunan melingkarsebenarnya hanya ada 2, yaitu susunan Gambar 2.5 (a) dan (d).Untuk menentukan bentuk susunan n objek yang disusunmelingkar maka tentukan sebuah titik yang dianggap sebagai titiktetap. Kemudian, sisanya dianggap sebagai penyusunan (n – 1)unsur dari (n – 1) unsur yang berbeda.Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut.Jika terdapat 3 objek (unsur) disusun melingkar, banyak susunanyang mungkin adalah 2! = (3 – 1)!.Jika terdapat 4 unsur disusun melingkar, banyak susunan yangmungkin adalah 3! = (4 – 1)!. Demikian seterusnya.Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.Misalkan terdapat n unsur yang berbeda disusun melingkar.Banyak susunan dapat ditentukan dengan permutasi siklisdengan aturanPsiklis = (n – 1)!Contoh:Sebanyak 6 orang mengadakan rapat. Mereka dudukmenghadap sebuah meja bundar. Berapa banyak cara merekamenempati kursi yang disusun melingkar itu?Jawab:Banyak cara mereka menempari kursi adalahPsiklis = (6 – 1)! = 5! = 120 cara.Soal Kompetensi 2• Kerjakan di buku tugas1.Tentukan nilai faktorial berikut.a.5!c.(4!)2!b.!3!6d.4! !23! !62.Nyatakan bentuk berikut ke dalam bentuk faktorial.a.4 × 3 × 2 × 1d.42× 32b.4 × 3e.n(n – 1)c.42× 32× 22× 1f.)1(1) (<+nnn
84Khaz Matematika SMA 2 IPS3.Hitunglah nilainya.a.1614 4!!!×b.47345!!!×c.25 723!!!×4.Hitunglaha.P35c.P48e.P010b.P57d.P510f.P2155.a.Untuk n* 1, perlihatkan bahwan! – (n – 1)! = (n – 1)! (n – 1).b.Untuk n* 3, perlihatkan bahwan! – (n – 3)! = (n – 3)!(n3 – 3n2 + 2n – 1)6.Tentukan nilai n yang memenuhi persamaann! = 380(n–2)!.7.Carilah nilai n pada persamaan berikut.a.PPnn314()<=c.2344324!PPnn++=b.PPnnn2250 2<=d.PPnn41210+=8.Tunjukkan bahwa nnnnnn!()!()!()!<<<=<23122.9.Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk darihuruf-huruf berikut.a.M, A, K, A, Nb.K, O, M, P, U, T, E, Rc.M, A, T, E, M, A, T, I, K, Ad.T, O, R, O, N, T, Oe.A, R, I, S, T, O, T, E, L, E, Sf.S, U, R, A, K, A, R, T, A10. Dari 7 calon pengurus koperasi, akan dipilih seorangketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Berapabanyak susunan pengurus yang mungkin dibuat?11. Seorang siswa diwajibkan menjawab 3 soal dari 5 soalyang disediakan. Tentukan banyak cara memilih soaltersebut.12. Tentukan banyak cara duduk melingkar dari 8 orang.13. Seorang siswa diminta mengerjakan 5 soal denganketentuan soal nomor 1 harus dikerjakan. Jika banyaksoal yang diberikan 7 soal, tentukan banyak cara siswaitu mengerjakan.TantanganBerpikir kritis• Kerjakan di buku tugasTerdapat 12 lembar kartonyang akan diwarnai sehing-ga 3 lembar di antaranyaberwarna hijau, 2 berwarnamerah, 2 kuning, dan sisa-nya hijau. Berapa jumlahcara pengecatan yang mung-kin dilakukan?TantanganBerpikir kritis• Kerjakan di buku tugasBerapa banyak cara memba-gikan 8 buah buku berbedakepada 3 orang siswa, yaituBudi, Candra, dan Denidengan ketentuan Budi men-dapat 4 buku, sedangkanCandra dan Deni masing-masing mendapat 2 buku?
85Peluang14. Suatu pertemuan dihadiri 18 orang. Jika setiap pesertasaling berjabat tangan, tentukan banyak jabat tangan yangterjadi.15. Misalkan di luar angkasa terdapat 10 buah satelit buatanyang mengelilingi bumi dalam satu orbit yang samaberbentuk lingkaran. Jarak sebuah satelit dengan satelitlainnya adalah sama. Tentukan berapa cara 10 satelittersebut menempati posisinya dalam orbit?3. KombinasiKombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia dirumuskandengannkC = ! )!(!kknn<Notasi kombinasi ada beberapa macam, antara lain nCk, nCk, atauC(n, k). Pada buku ini disepakati notasi yang dipakai adalah nkC.Kalian tentu masih ingat dengan pengertian permutasi. Padapermutasi urutan unsur pada suatu susunan diperhatikan. Namun,pada kombinasi urutan tidak diperhatikan. Misalnya,ABCBACCBACABadalah susunan (kombinasi) yang sama.Kalian telah memahami bahwa permutasi k unsur dari n unsuryang tersedia, yaitu )!(!knnPnk<=.Karena banyak permutasi k unsur adalah k! dan kombinasitidak memerhatikan urutan maka setiap k! permutasi merupakansatu kombinasi dari k unsur. Dengan demikian, diperoleh= ! nknkCkPnkC=!kPnk=! )!(!kknn<Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.Kuis• Kerjakan di buku tugasDari 12 orang yang terdiriatas 8 pria dan 4 wanita akandibentuk kelompok kerjayang beranggotakan 4 orang.Jika dalam kelompok kerjaitu paling sedikit terdapat 2pria maka banyak caramembentuk kelompok kerjaitu ada ....a. 442d. 462b. 448e. 468c. 456UMPTN 2001Contoh 1:Tentukan nilai kombinasi-kombinasi berikut.a.62Cb.55Cc.1 +nnC
86Khaz Matematika SMA 2 IPSJawab:a.C266!(6 2)! 2!6!! 2!6 5 4!! 2!6 52!15=<==××=×=44b.C555!(5 5)! 5!5!! 5!!!=<===0551c.Cnnnnnn 1(1)!((1))! !+=++< = ( 1)!1! !(1)!!1nnnnnn+=+=+Contoh 2:Tentukan nilai n2 – 1 jika 4543!CPnn=.Jawab:4543!CPnn=44453!!()!!!()!nnnn<=<nnnnn!()!!()()!<=<<45341= 53n<n – 3 = 5n= 8Jadi, n2 – 1 = 82 – 1 = 63.ProblemSolvingDari 10 orang yang mendaftar karyawan di suatu perusahaan,hanya akan diterima 6 orang sebagai karyawan. Tentukanbanyak cara untuk memilih keenam orang itu.Jawab:Pada kasus ini urutan orang yang diterima sebagai karyawantidak diperhatikan. Jadi, kasus ini dapat diartikan sebagaikombinasi 6 unsur dari 10 unsur yang tersedia. (Mengapademikian?)C61010!(106)! 6!10!! 6!109 8 7 6!! 6!=<==××××44= 10 9 8 74321210××××××=Jadi, terdapat 210 cara.
87PeluangContoh 1:Bentuk a + b, x + y, x2 – y2, dan seterusnya dinamakan bentukbinom. Termasuk bentuk (a + b)n. Bentuk (a + b)n dapat diuraikanmenjadi suku-sukunya. Proses menguraikan ini dinamakanperluasan atau ekspansi binomial atau binomial Newton.Teorema Binomial Newton (Teorema Binom)Untuk n bilangan bulat positif, berlaku()...a bCa Ca b Ca bCbnnnnnnnnnn+= ++++<<011222Dapat juga ditulis dengan notasi sigma berikut.()abCa bnknnkkkn+=<=-0Untuknab=A+A11() koefisienC01C11Untuknab=A+A22() koefisienC02C12C22Untuknab=A+A33() koefisienC03C13C23C33Untuknab=A+A44() koefisienC04C14C24C34C44Untuknab=A+A55() koefisienC05C15C25C35C45C55Jika kalian selesaikan akan diperoleh susunan koefisienberikut.(a + b)11Aa + b(a + b)2121Aa2 + 2ab + b2(a + b)31331Aa3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a + b)41464 1Aa4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4(a + b)51 5 10 10 5 1Aa5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 +5ab4 + b5Bagaimana penggunaannya? Perhatikan contoh berikut.4. Teorema Binomial NewtonUraikan bentuk berikut dalam suku-sukunya.a.(x + y)3b.(x + y)4c.(2x + y)5d.(2x – y)6Jawab:a.(x + y)3=1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3=x3 + 3x2y + 3xy2 + y3b.(x + y)4=1x4 + 4x3y + 6x3y2 + 4xy3 + 1y4=x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 = y4
88Khaz Matematika SMA 2 IPSc.(2x + y)5=1(2x)5 + 5(2x)4(y) + 10(2x)3(y)2 +10(2x)2(y)3 + 5(2x)(y)4 + 1(y)4=32x5 + 80x4y + 80x3y2 + 40x2y3 + 10xy4 + y4d.(2x – y)6Ditentukan terlebih dahulu koefisien binom.C0666001=<=!()!!C1666116516=<==!()!!!!!C26662264215=<==!()!!!!!C36663363320=<==!()!!!!!C46664462415=<==!()!!!!!C5666556156=<==!()!!!!!C6666666061=<==!()!!!!!Jadi, (2x – y)6=Cx y066 02()()<+ Cx y16512()()< +Cx y26422()()<+ Cx y36332()()< +Cx y462 42()()<+ Cx y561 52()()< +Cx y66062